La base geodetica Torino-Rivoli ed il Gradus taurinensis (1760)

   A cura di Tullio Aebischer (t_aebischer@yahoo.it)

   Triangolazione e basimensura

   La misura di un territorio ebbe un progresso notevole all'inizio del XVII sec. quando l'olandese Snellius (1591-1626) (latinizzato dall’olandese Willebrord Snell van Royen) inventò il metodo della triangolazione per la misura dell'arco di meridiano Alkmaar-Bergen op Zoom nel 1617 (fig. 1). Il procedimento della triangolazione fu immaginato da Gemma Frisius nel 1533 e utilizzato da Tycho Brahe per collegare al continente l’Osservatorio astronomico di Uraniborg, situato su un’isola del Kattegat.

   Il metodo era utile poiché risultava, a quell’epoca, molto difficile effettuare la misura precisa e diretta delle distanze.

   La triangolazione consiste nella misura degli angoli di una serie di triangoli contigui, il più possibili equilateri, che formano una rete, detta geodetica. I punti contigui dai quali si misurano gli angoli devono essere intervisibili e possibilmente non troppo lontani per ovviare a problemi di rifrazione dell'atmosfera, né troppo vicini per non eseguire un eccessivo numero di osservazioni con aumento degli errori. Ovviamente, l'accuratezza di una misura di questo genere dipende sensibilmente anche dalla costruzione degli strumenti utilizzati. Inoltre, non bisogna dimenticare che nel Settecento il calcolo numerico delle funzioni trigonometriche era svolto a mano con l’aiuto di apposite tabelle e quindi risultava molto lungo e laborioso e fonte di possibili errori.

   La teoria matematica alla base della triangolazione è la trigonometria sferica che con l'ausilio di alcuni teoremi (p. es. quello di Legendre dell'eccesso sferico) può essere ricondotta alla trigonometria piana. Ma l'utilizzo degli angoli per misurare le distanze sul terreno, vero scopo dell'operazione, richiede la conoscenza di almeno un lato che viene chiamato base geodetica.

   La base geodetica é un tratto di terreno misurato con altissima precisione (errore inferiore al centimetro) poiché gli errori sulla misura e l'estensione della rete potrebbero propagarsi in maniera incontrollata inficiando tutta l'operazione, ossia, come si dice, non permetterebbero la chiusura della rete e l’errata valutazione delle distanze.

   La tecnica che si utilizza per la misura di una base geodetica si chiama basimensura. In genere una base ha una lunghezza tra i 4 ed i 14 km dipendendo la lunghezza dall'estensione del territorio da cartografare. In pratica la misura di una base si esegue definendo il punto di partenza, chiamato caposaldo iniziale, e quello finale, chiamato caposaldo finale. Il caposaldo finale viene definito con l'allineamento, ossia la determinazione del tracciato della base, facendo perno sul caposaldo iniziale. Poiché la misura della base é eseguita sulla superficie terrestre, si rende necessario, al termine di essa, riferirla al livello del mare per cui un'ulteriore operazione é quella della livellazione, ossia la misura dell'altezza rispetto ad un punto noto.

   Definito, per così dire, l’“ambiente” della misura, questa si esegue in genere con un'asta di legno con all'interno delle sbarre di metallo spostandola lungo l'allineamento. L'accuratezza dipende dalla precisione delle misure di temperatura per tener conto della dilatazione delle sbarre e le deviazioni rispetto all'orizzontale e l'allineamento.

   Come unità di misura si usano aste di lunghezza nota: maggiore è la lunghezza, più rapide sono le operazioni, ma l’asta diventa più pesante e meno trasportabile e soggetta a deformazioni. Le aste erano fatte di legno trattato contro l’umidità oppure di metallo o meglio ancora, dalla fine del Settecento in poi, di due metalli sovrapposti o accostati in modo da stimare la variazione di lunghezza dovuta alla temperatura (coefficiente di dilatazione termica). Nel caso delle aste metalliche, le stesse erano imbullonate ad un'estremità. Ricordiamo, infatti, che le dimensioni lineari di un solido dipendono dalla temperatura secondo una legge con buona approssimazione lineare che permette di calcolarne l'allungamento. Per ovviare a questi problemi, alla fine dell’Ottocento, si è incominciata ad utilizzare una lega di acciaio e nichel detta invar che presenta un coefficiente di dilatazione molto inferiore, ma che potrebbe avere delle problematiche dal punto di vista dell'elasticità.

   Normalmente le aste erano quattro, in modo da averne sempre tre fisse mentre si posizionava la quarta. Su ognuna veniva inciso un numero per poterle distinguere o addirittura le si conservava in scatole separate e variamente colorate. Le aste in legno avevano un chiodo metallico alle estremità affinché la superficie di contatto fosse ben definita per farle combaciare perfettamente, oppure non venivano poste a contatto, per evitare gli urti, e se ne misurava la distanza con una scala graduata di quarzo. Verso la fine del XVIII sec., le aste avevano all’estremità una linguetta mobile con la quale valutare questa distanza con grandissima precisione. Le aste si ponevano direttamente per terra o per maggiore comodità su dei cavalletti di altezza regolabile, e naturalmente si misurava se l’asta fosse o no orizzontale. Nei tratti in cui il terreno mostra una pendenza, si dispone un’asta più in basso dell’altra, assicurandosi che i due estremi fossero esattamente sulla stessa verticale, ponendoli a contatto con un filo a piombo. In tal caso era necessario aggiungere, alla lunghezza dell’asta, lo spessore del filo, quantità che, benché minima, tuttavia non era da trascurare.

   Posizionate le aste, si controllava che esse fossero ben allineate. Per questo ogni asta aveva, vicino alle estremità, due mirini. Prima di intraprendere la misura venivano disposti, lungo l'allineamento di tanto in tanto a seconda della intervisibilità, dei segnali di riferimento per poter procedere in linea retta tra i due estremi.


   Misura del grado di meridiano

   Nei secoli passati, e tra queste vi fu la triangolazione appena ricordata di Snellius, tali operazioni si eseguirono per la misura della forma della Terra, problema di grande importanza specie dopo la pubblicazione della teoria della Gravitazione Universale di Newton (1642-1727) nel 1687 che prediceva uno schiacciamento ai Poli. Non essendovi la possibilità di “uscire” dalla Terra con un satellite o astronave, l'unico modo per conoscere la forma della Terra era quello di misurare archi di meridiani in vari punti della superficie terrestre per confrontare il risultato con i modelli ipotizzati. In questo ambito ritroviamo in Francia la grande operazione di Delambre e Machain di fine XVIII sec. che permise la misura del meridiano di Parigi e la prima definizione del metro che ebbe la sua consacrazione nella Convenzione del Metro del 1875.

   Il metodo è, in teoria, molto semplice. Si tratta di valutare la distanza, sulla superficie terrestre, tra due punti A e B posti sullo stesso meridiano, poi misurare l’ampiezza dell’arco AB data dalla differenza delle latitudini astronomiche di A e di B, quindi dividere la distanza misurata sul terreno per l’ampiezza per avere la lunghezza di un singolo grado.

   Storicamente vi sono state varie misure che hanno coperto un arco temporale di poco più di tre secoli.

   Una prima misura fu quella dell’arco di Fernel (1497-1558), astronomo e futuro medico del re Enrico II, il quale, nel 1528, partì da Parigi e andando verso nord in direzione di Amiens misurandone la distanza contando i giri delle ruote del suo carro e l’ampiezza dell’arco con osservazioni della distanza zenitale del Sole al solstizio.

   A Snell, geografo olandese, come detto si deve l’invenzione del metodo delle triangolazioni. La lunghezza dell’arco fu dunque misurata con questa nuova tecnica, indubbiamente più precisa. Tuttavia, il risultato ottenuto fu errato per difetto poiché gli angoli furono misurati con una precisione di 1’ e quindi l’applicazione del metodo di triangolazione non poteva che essere imperfetta.

   Intorno al 1630 Norwood (1590-1665) misurò un arco in Inghilterra ancora con una misura di distanza ottenuta dal numero di giri di una ruota.

   Un arco fu misurato nelle vicinanze di Bologna del gesuita Riccioli (1598-1671) nel 1661. É la prima misura italiana, ma affetta da un discreto errore, non essendo ottenuta per triangolazione.

   Le misure citate non diedero un risultato univoco tanto che l’Académie des Sciences decise una nuova misura che venne effettuata dall’abate Picard (1620-1682) tra il 1669 ed il 1670. L’arco di Picard fu subito considerato il primo veramente affidabile grazie alle cure impiegate nella misura. Esso si estende per circa 150 km tra Malvoisine (30 km a sud di Parigi) e Sourdon (20 km a sud di Amiens), quindi intorno al parallelo 49°N. La distanza fu ottenuta con una triangolazione formata da 13 triangoli e due basi, misurate con due pertiche di legno.

   D. Cassini (detto Cassini I) fu incaricato di estendere l’arco di Picard, verso sud e verso nord. I lavori iniziarono nel 1683 e durarono diversi anni. Dal 1700 si affiancò il figlio Jacques e le misure, dopo alcune soste, si conclusero nel 1718. In definitiva la misura di Cassini sembrava provare che la Terra fosse schiacciata all’equatore e, precisamente, che i gradi di meridiano aumentassero attraversando la Francia da nord a sud.

   Nell’Ottocento ci furono altre due misure che meritano di essere citate per la loro somiglianza con le due grandi spedizioni del Settecento. La prima, quella nell’Arcipelago dello Spitzberg (un arco di 4°10’ d’ampiezza alla latitudine media di 78°43’N) negli anni 1898-1902; la seconda, in Perù, datata 1899-1906.

   L’arco dello Spitzberg è stato misurato da russi e svedesi combattendo contro un freddo polare e le misure erano limitate ai soli tre mesi estivi. Il gruppo svedese partì da nord e il gruppo russo da sud, per incontrarsi su un lato comune della triangolazione. Il risultato delle due spedizioni differì solo di 1.5 m. Le triangolazioni furono calcolate direttamente sull’ellissoide e si tenne conto dell’attrazione esercitata dalle masse visibili basandosi su campioni di roccia raccolti.

   La scelta del Perù (oggi il territorio dove si eseguì la misura è in Ecuador) era stata determinata dalla sua latitudine prossima all’equatore, dalla presenza di insediamenti umani su cui poter, in teoria, fare affidamento, dalla disposizione nord-sud della Cordigliera delle Ande, ottima, sempre sulla carta, per la triangolazione. Ma le 20 t di materiali e strumenti scientifici da trasportare, le stazioni di misura ad oltre 4000 m di quota e le altre difficoltà non permisero di concludere la missione in meno di sette anni. Nonostante tutto, la precisione raggiunse livelli ragguardevoli. Furono misurate tre basi, una a nord, una al centro e una a sud dell’arco. La base nord, calcolata a partire dalla base al centro, risultò circa 7 cm inferiore al valore misurato, la base sud meno di 3 cm più lunga.

   Dopo il 1750, risolta in pratica la disputa sulla forma della Terra, si continuò a misurare altri archi di meridiano migliorando le misure e le tecniche passate, determinando nuovi archi da confrontare con quelli noti per calcolare lo schiacciamento terrestre, costruendo reti di triangoli che servissero d’appoggio per la realizzazione di carte geografiche.

   I padri gesuiti Maire (1697-1767) e Boscovich (1711-1787) determinarono nel 1751 un grado di meridiano in Italia, tra Roma e Rimini (latitudine media di 43°N). Pur non essendo avvezzi a questo genere di operazioni, i due gesuiti applicarono con cura le loro conoscenze teoriche, matematiche e astronomiche, facendo costruire due precisi strumenti di osservazione e cercando di tenere sotto controllo, nel calcolo, le diverse fonti di errore. Alla fine, i risultati furono pubblicati, in latino, nel 1755 in DE LITTERARIA EXPEDITIONE PER PONTIFICIAM DITIONEM … A PATRIBUS SOCIETE JESU CHRISTOPHORO MAIRE ET ROGERIO JOSEPHO BOSCOVICH, tradotto in francese nel 1770.

   Boscovich si fece spedire da Parigi una tesa campione. Intanto che ne aspettava l’arrivo in Italia, misurò due basi. Per la prima volta, le aste furono posate su dei cavalletti che potevano scorrere in su e in giù in modo da mantenere l’asta orizzontale. Lungo i pendii troppo ripidi, invece, le aste venivano lasciate oblique e distanziate un pò l’una dall’altra, poi si prendeva con un compasso la distanza lasciata e la si riportava su una scala graduata per averne una stima precisa. I segnali per la triangolazione erano piramidi di legno ricoperte alla sommità di foglie. I due gesuiti affrontarono durante la misura difficoltà materiali, come l’attraversamento di zone montagnose senza sentieri già tracciati, la sosta su vette dove il cattivo tempo persistente interrompeva i lavori e dove il vettovagliamento era aleatorio. A ciò si aggiungeva l’ostilità sistematica degli abitanti poiché si credeva che i geodeti cercassero dei tesori nascosti, si imputavano a loro le irregolarità del tempo (tempeste, grandinate) e venivano distrutti o rubati i segnali di riferimento. Delambre aggiunge che malgrado la lettera del papa, molti preti rifiutarono il permesso di entrare nei loro campanili.

   Il libro di Boscovich si conclude con un’interessante analisi dei gradi di meridiano misurati fino ad allora. Egli considera queste misure deducendone lo schiacciamento terrestre, ma malgrado gli sforzi compiuti, i risultati furono abbastanza sconfortanti: lo schiacciamento oscillava da -1/486 a 1/78!

   L’ultima misura di grado di meridiano, antecedente il lavoro di Delambre e Méchain, è quella compiuta in Pennsylvania (latitudine media 39°10’N) da Mason e Dixon negli anni 1764-1768. La peculiarità di quest’impresa è che l’arco terrestre non fu determinato per triangolazione, ma direttamente sul terreno sfruttando gli ampi spazi privi di ostacoli che offriva la regione. In realtà, qualche ostacolo fu incontrato e non fu possibile seguire da nord a sud un unico meridiano, ma si fu costretti a misurare un primo tratto su un meridiano, poi un secondo tratto su un altro, e così via. Naturalmente, buona parte del lavoro fu dedicato a verificare che i punti estremi consecutivi fossero ad una latitudine identica. In ogni caso questa forzata frammentazione può essere stata la principale fonte di errore, nonostante le osservazioni zenitali potessero contare su un ottimo strumento.


   La misura del grado torinese (GRADUS TAURINENSIS)

   Nel Regno di Sardegna l'interesse e lo studio della cartografia fu molto vivo sin dal XVII secolo. Tale interesse non era solo culturale, ma si rendeva necessario per una conoscenza del territorio per una corretta pianificazione delle difese militari e nella definizione dei confini. Per tali compiti fu istituito nel 1655 il Corpo della Topografia Reale. L'importanza per il regno di tali lavori era tale che le carte prodotte venivano considerate segreto di Stato.

   L'interesse per il rilievo cartografico, però, era solo interno e non considerava il grande problema della già citata forma della Terra. Ma in occasione di una sua visita a Torino nel 1759 padre Boscovich suscitò l'interesse verso tale tematica. Accogliendo l’invito del padre gesuita, il re di Sardegna Carlo Emanuele III affidò al padre scolopo Giovanni Battista Beccaria (1716-1781) (vedi box), fisico e geometra, l'incarico di studiare operativamente il problema delle anomalie gravimetriche delle Alpi.

   Beccaria si avvalse della collaborazione dell'abate Canonica. Il giudizio di Delambre fu particolarmente pesante poiché disse “[che il primo] in tutta la sua vita non aveva forse mai fatto un’osservazione astronomica [… l’altro] non era affatto più esercitato”.

   I lavori furono pianificati ed eseguiti tra il 1760 ed il 1764 con la misura dell'arco di meridiano tra i paralleli di Mondovì (TO) ed Andrate (CN) (Gradus taurinensis) (fig. 2).

   L'arco fu diviso in due sottoarchi, boreale ed australe, nel punto del parallelo medio passante per Torino (45°N). In questo modo era possibile evidenziare l'effetto delle Alpi del sottoarco settentrionale rispetto a quello meridionale.

   La base geodetica della rete di triangolazione fu misurata lungo lo stradone (Stradone di Francia o Via del Re), approssimativamente con direzione est-ovest, che congiunge piazza dello Statuto a Torino alla rotatoria al termine della S.S. 25 (corso Francia) in corrispondenza dell'incrocio con corso Susa a Rivoli (fig. 3).

   Questo lungo stradone fu sistemato nel 1711 ed all'epoca della misura i due capisaldi erano indicati con grosse pietre di marmo infisse nel terreno che col tempo vennero sepolte da strati di terra.

   In questo caso la misura fu eseguita con pertiche di legno stagionato campionate con la tesa di Francia (un esemplare del 1804 della tesa francese - lunga circa 1.94903 m - si trova nel museo dell'Osservatorio astronomico di Palermo). La lunghezza della base fu di 11793.64 m (lunghezza oggi esistente tra i due obelischi).

   La rete geodetica di Beccaria, costituita da sette triangoli, aveva i vertici a Mondovì, Saluzzo, Sanfré, Rivoli, Torino, Superga, Massè, Col del Timone ed Andrate.

   Il risultato delle misure diede un'ampiezza del sottoarco settentrionale Mondovì-Torino di 40’40” e per quello meridionale Torino-Andrate di 27’14”. Le suddette misure angolari corrispondevano, rispettivamente, alle misure lineari di 111.363 km e 112.976 km. Il grado dedotto dalla misura completa risultò pari a 112.008 km. Tale valore, però, era molto lontano da quello di 111.141 km che secondo i francesi dovevasi trovare per la latitudine di 45°N. Considerando la misura eseguita correttamente, la differenza fu imputata alla deviazione dalla verticale provocata dalle vicine montagne: 27” circa da parte delle alpi Graie e 5” circa da quelle Marittime.

   La pubblicazione nel 1774 dei risultati di Beccaria provocò vivaci discussioni e rese necessario un loro controllo. Il direttore dell'Osservatorio astronomico di Parigi Cassini di Thury (detto Cassini III) (1714-1784) imputò il disaccordo dei risultati alla scarsa precisione operativa del religioso italiano che rispose con uno scritto anonimo nel 1777 riaffermando la causa orografica delle anomalie.

   La querelle proseguì nei decenni successivi fino all'analisi di F.S. De Zach (1754-1832), direttore dell'Osservatorio di Seeberg (Germania), allorquando stabilitosi in Italia nel 1809 analizzò i risultati di Beccaria. Rieseguendo alcune misure sia geodetiche che astronomiche misurò una differenza notevole con i suoi dati tanto da indurlo in una pubblicazione del 1810 ad esprimere un giudizio negativo sull'operato di Beccaria.


   Gli obelischi

   I due estremi della base furono monumentalizzati con due obelischi di piccole dimensioni dopo che durante la rimisura da parte dei francesi agli inizi del XIX sec. i due estremi furono materializzati con piramidi di legno da parte degli ingg. Moynet e Coraboeuf. Ciò fu possibile allorquando dopo una ventina di anni dalla scomparsa di Beccaria furono ritrovate le pietre sepolte e verificatene la posizione ad opera dell’ing. Lasseret su incarico del gen. Sanson, direttore dei Depositi di Guerra francesi, grazie anche all’aiuto degli appunti dello stesso Beccaria.

   L'obelisco in piazza dello Statuto a Torino oggi è in pessime condizioni (figg. 4 e 5: prima metà 2004).