Note matematiche
N.B.: I calcoli che seguono si basano sulle conoscenze che si possono acquisire nel corso di analisi matematica dell’ultimo anno di liceo.
A) Geometria di una lente gravitazionale
L’effetto lente è la somma dei singoli effetti gravitazionali che i raggi luminosi subiscono lungo tutto il percorso che congiunge la sorgente all’osservatore. A fronte di tale difficoltà di calcolo, si assume l’approssimazione, ben corroborata, che solo nella zona vicina alla lente si hanno gli effetti che deviano la luce, ossia ci si pone nell’approssimazione di una lente sottile poiché il suo spessore è molto piccolo rispetto alla distanza dall’osservatore.
Supporremo anche che nel sistema sorgente-deflettore-osservatore gli oggetti non abbiano una velocità relativa relativistica, ossia prossima alla velocità della luce.
Inoltre, gli angoli sono sufficientemente piccoli che si adotterà l’approssimazione al prim’ordine dello sviluppo in serie di sen(x) @ x, ossia si sostituirà al seno dell’angolo l’angolo stesso, e l’approssimazione cos(x) @ 1 – x2 / 2.
In questa particolare geometria, chiamata lente di Schwarzschild, consideriamo il caso di una lente paragonabile ad una massa puntiforme per cui il campo gravitazionale prodotto è a simmetria sferica.
Definiamo, come dalla figura, O l’osservatore, L l’oggetto che produce l’effetto lente ed S la sorgente. Sia B il punto d’intersezione della congiungente OL con il piano, perpendicolare ad OL, della sorgente ed A il punto d’intersezione sempre con il piano della sorgente del prolungamento del raggio luminoso dopo essere stato deflesso da L in D, punto nel quale virtualmente si dovrebbe posizionare l’immagine del miraggio gravitazionale.
Definiamo:
r - la distanza LD
a - la distanza OL
b - la distanza LB
d - la distanza OB
x - l’angolo BOA
y - l’angolo BOS
w - l’angolo ADS
Le tre distanze, a rigore, non sono lineari per cui a + b ≠ d a causa della curvatura spazio-temporale. Tuttavia, nelle nostre approssimazioni si converrà che a + b @ d.
L’angolo di deflessione w subìto dal raggio luminoso nel punto D più vicino alla lente, secondo la Teoria Generale della Relatività, è pari a
w = 4 G M / r c2 = 2 RS / r (1)
dove G è la costante di gravitazione universale, M la massa della lente, c la velocità della luce nel vuoto ed RS è il raggio di Schwarzschild.
Nella geometria in fig. 1 il raggio luminoso che parte da S ed arriva in O deve soddisfare la seguente relazione:
AB = AS + SB (2)
per cui, applicando il teorema dei seni ai piccoli triangoli per i singoli segmenti, si ottiene
AB = x d
BS = y d
AS = w b
ossia, sostituendo nella (2) si ha,
x d = w b + y d (3)
Dalla fig. 1 si ha
r = x a
per cui, dalla (1), si ottiene
w = 2 RS / x a
con x ≠ 0 perché ovviamente w > 0, ma anche perché w = ∞ non avrebbe senso. Quest’ultima espressione sostituita nella (3) e riarrangiando i termini dà
x d - 2 RS b / (x a) – y d = 0 (4)
Dividendo per d e moltiplicando per x la (4) si ha l’equazione di secondo grado
x2 – x y – 2 RS b / (a d) = 0
che risolta rispetto ad x, ossia alla posizione delle immagini, e ponendo per economia di scrittura
J = b / (a d)
dà
x1,2 = [y ± √(y2 + 8 RS J)] / 2
dove √ indica l’operazione di radice quadrata.
La distanza tra le immagini è
dx = √(y2 + 8 RS J)
Per y = 0, ossia quando la sorgente è perfettamente allineata alla lente rispetto all’osservatore, l’immagine diventa il cosiddetto ‘anello di Einstein’ con un raggio xE pari a
xE = √(2 RS J)
Se si sposta la sorgente da una distanza angolare pari ad xE fino al perfetto allineamento, le immagini si dispongono qualitativamente come in fig. 2.
In (a) la sorgente si trova ad una distanza angolare dalla lente pari al raggio di Einstein e le immagini si vengono a formare una al di fuori ed una all’interno di tale raggio. L’immagine all’interno del raggio di Einstein è capovolta.
In (b) la sorgente ha una distanza angolare dalla lente pari al raggio della lente stessa. Le immagini sono sempre due, una fuori ed una dentro il raggio di Einstein, ed assomigliano maggiormente a due archi luminosi.
In (c) la sorgente dista angolarmente meno del raggio della lente per cui le due immagini iniziano a fondersi in un anello di spessore variabile.
In (d) la sorgente è perfettamente allineata alla lente per cui l’unica immagine che si forma è il cosiddetto ‘anello di Einstein’.
B) Misura della ‘costante’ di Hubble con l’effetto lente
B.1) Dalle immagini
Utilizzando la legge di Hubble in condizioni di linearità, ossia
Ho = v / D
dove D è la distanza dall’osservatore, v la velocità di recessione del corpo celeste ed Ho la ‘costante’ di Hubble, nel nostro caso si avrà
a = vL / Ho
d = vS / Ho
b = d – a = vS / Ho - vL / Ho = (vS - vL) / Ho
Sostituendo le relazioni appena trovate nell’espressione di J si avrà
J = Ho (vS – vL) / (vL vS) (5)
Esprimendo la velocità degli oggetti celesti con il redshift cosmologico z si ha, in generale,
v = z c
che sostituita nella (5) dà
J = Ho (zS – zL) / (c zL zS)
Il redshift z risulta una quantità misurabile dagli spettri osservati con la definizione
z = (l - lo) / lo
dove lo è la frequenza della linea spettrale misurata in laboratorio e l quella misurata nello spettro. Pur non potendo osservare la sorgente ‘direttamente’, ossia senza l’effetto lente, è possibile misurare zS dalle immagini poiché la deflessione non dipende e/o altera la lunghezza d’onda.
B.2) Dal ritardo temporale
Per calcolare il ritardo dt di un segnale lungo i due percorsi che definiscono le immagini, si consideri la seguente fig. 3 (non in scala).
La relazione base da calcolare, nell’approssimazione euclidea, è
dl = | l(OD1S) – l(OD2S) | (6)
ossia la differenza dl di lunghezza dei due cammini e dove i simboli | | indicano il valore assoluto. Per risolvere il problema calcoliamo, nell’approssimazione dei piccoli angoli, le due lunghezze:
OD1 = a (1 – x12/ 2) SD1 = b (1 – w12 / 2)
OD2 = a (1 – x22/ 2) SD2 = b (1 – w22 / 2)
Sostituendo le ultime relazioni nella (6) e dividendo per c per poter calcolare il ritardo dt della propagazione di un segnale lungo un cammino rispetto all’altro, si avrà
dt = | a (x22 – x12) / 2 + 2 b RS2 (1 / x22 – 1 / x12) / a2 | / c (7)
La (7) si annulla allorquando x22 = x12, ossia quando sono uguali ad xE come nel caso dell’anello di Einstein poiché i due cammini risultano uguali.
Il ritardo temporale dipendente dal campo gravitazionale si può trascurare nel caso, come il nostro, nel quale la lente è considerata sottile.
Come si è visto la posizione angolare delle immagini è proporzionale alla ‘costante’ di Hubble, per cui lo sarà anche il ritardo dt. Per questo motivo si rende necessario un monitoraggio costante dei sistemi che producono l’effetto lente per poter misurare questo ritardo che talvolta può arrivare a più di 400 giorni.
In conclusione, si deve mettere in evidenza la possibilità di un metodo di calcolo di Ho da variabili misurabili! Un problema può esserci per la misura della massa M della lente a causa della sua debole luminosità.
C) Stima dell’amplificazione delle immagini
Per stimare l’amplificazione m delle immagini a fronte dell’effetto lente consideriamo un settore di corona A della sorgente ampio k e con uno spessore angolare dy (fig. 4). Tale settore sarebbe quello che si vedrebbe senza la lente. L’effetto lente produce due immagini A1 ed A2. Entrambe le immagini sono ampie k ed hanno uno spessore angolare pari, rispettivamente, a dx1 e dx2. La distanza lineare di A dalla lente è u ed è spessa du. Le distanze lineari delle due immagini sono r1 ed r2 con, rispettivamente, uno spessore lineare pari a dr1 e dr2. Il flusso f dalle immagini e dalla sorgente è lo stesso.
L’amplificazione m è definita come il rapporto tra la somma delle intensità luminose delle immagini (I1 ed I2) e l’intensità luminosa della sorgente (I) senza l’effetto lente, ossia
m = (I1 + I2) / I = (f k r1 dr1 + f k r2 dr2) / (f k u du)
Semplificando per f k e ricavando i termini differenziali dalle relazioni
u = a y " du = a dy
r1 = a x1 " dr1 = a dx1
r2 = - a x2 " dr2 = - a dx2
si ha
m = (x1 / y) (dx1 / dy) - (x2 / y) (dx2 / dy)
dalla quale, sostituendo le derivate rispetto ad y delle posizioni delle immagini ed un pò di calcoli, si ottiene
m = ((y / √(y2 + 8 RS J) ) + ( (√(y2 + 8 RS J) ) / y)) / 2
Infine, esprimendo la distanza angolare sorgente-lente y in multipli del raggio di Einstein xE (n = y / xE), si avrà
m = (n2 + 2) / (n √(n2 + 4))
Nel caso di y = xE, ossia n = 1 si avrà m @ 1.34.
Questo semplice modello di lente non permette di calcolare tutte le caratteristiche delle immagini come l’anello di Einstein poiché le approssimazioni che si sono fatte porterebbero ad una divisione per 0. Comunque, esso ha permesso di evidenziare gli effetti più caratteristici di una lente gravitazionale come situazione di interazione tra oggetti celesti e campi gravitazionali che possono avere importanti conseguenze nei più importanti problemi della cosmologia moderna, tra i quali, la massa mancante e le velocità superluminali.
