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Calcolo della distanza Terra-Sole dal transito di Venere
Il calcolo dell'Unità Astronomica (AU), ovvero della distanza che separa la Terra dal Sole, mediante le osservazioni dei transiti dei pianeti interni richiede l'applicazione di un metodo geometrico basato sulle misure dei tempi di transito presi da due punti diversi della superficie terrestre, lontani il più possibile secondo la direzione perpendicolare al piano dell'eclittica.
Un osservatore posto in A (fig. B1) vedrà il pianeta descrivere la corda C, mentre un osservatore posto in A' lo vedrà transitare sulla corda C', cosicché, ad uno stesso istante, Venere apparirà in due punti diversi, rispettivamente B e B'. La separazione angolare tra B e B' (angolo f) può essere ottenuta dalla differenza della durata del transito nei due luoghi di osservazione. D'altra parte la distanza tra i due punti A e A' è nota, così che è possibile risalire alla distanza BB' ed infine alla distanza Terra-Sole cercata.
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Cerchiamo ora di eseguire i calcoli utilizzando un metodo semplificato (fig. B2). L'elongazione massima di Venere, la sua distanza apparente dal Sole vista dalla Terra, varia da 45° a 48°. Per semplicità, ipotizziamo orbite circolari e prendiamo il valore medio di elongazione massima di Venere, pari a 46°:
SV/ST = sen 46° = 0.72
da cui
SV = 0.72 ST
ST = 1 UA (per definizione)
SV = 0.72 UA
TV = 0.28 UA |
Sempre nell'assunzione di orbite circolari, cerchiamo di ricavare la velocità apparente di Venere. Il periodo sinodico di Venere ovvero il tempo che il pianeta, osservato dalla Terra, impiega per tornare in una stessa posizione rispetto al Sole, è di circa 584 giorni.
Nella fig. B3 (T = Terra, S = Sole, V = Venere in congiunzione inferiore e V' = Venere un'ora dopo la congiunzione):
VV' = TV sen b = SV sen a
sen b/sen a è approssimabile con b/a = SV/TV = 0.72 / 0.28
L'angolo a descritto da Venere attorno al Sole in un'ora sarà (in primi d'arco):
a = 360 x 60 / 584 x 24
b = a x (0.72 / 0.28) = 360 x 60 x 0.72 / 584 x 24 x 0.28 = 4'
Dunque, la velocità con la quale Venere transita davanti al Sole è di circa 4'/h.
Tornando alla fig. B1, supponiamo che AA' sia perpendicolare al piano dell'eclittica e che la distanza tra i due osservatori sia di 5000 km. Ipotizziamo, inoltre, che il transito di Venere davanti al Sole duri 6h per l'osservatore posto in A' e 6h 8m per l'osservatore posto in A.
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Nella fig. B4 è rappresentato il disco solare con i due tracciati del transito I'U' e IU, osservati, rispettivamente, dalle due postazioni A' e A:
I'U' = 6h x 4'/h = 24'
I'B' = 12'
IU = 6h 8m x 4'/h = 24.53'
IB = 12.27'
Il raggio del Sole sappiamo essere OI' = OI = 16', da cui, per il teorema di Pitagora:
BO = 10.269'
B'O = 10.583'
quindi
B'B = 0.314' = 0.00523° |
Ma possiamo risalire anche alla misura in chilometri di BB':
BB'/AA' = BV/AV = 0.72 UA / 0.28 UA
da cui
BB' = 72/28 x 5000 km = 12857 km
Quindi, la distanza Terra-Sole, ovvero AB, risulterà:
sen 0.00523 / 2 x AB = 12857 / 2
AB = 6429 / sen 0.00262 = 140593346 km
che, considerando il raggio della Terra pari a 6378.140 km, corrisponde ad una parallasse solare, errata, di 9.36".
Si tratta, come abbiamo detto, di un metodo semplificato avendo supposto circolari le orbite planetarie, ma utili per capire la ratio del metodo e l'importanza delle osservazioni dei transiti dei pianeti interni del nostro Sistema Solare.
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